I - Des triangles égaux⚓
Définition :
Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Propriété:
Des triangles égaux sont superposables et leurs angles ont même mesure.
Remarque :
Deux triangles qui ont des angles de même mesure ne sont pas forcément égaux.
Propriété:
Si deux triangles ont deux à deux :
un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur
OU
un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux.
Exemple :
Comme \(BC = MN\) et que \(\widehat{ABC} = \widehat{PMN}\) et \(\widehat{ACB} =\widehat{ MNP}\)
les triangles \(ABC\) et \(MNP\) sont égaux.
II - Des triangles semblables⚓
Définition :
Des triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Remarques :
Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables.
Deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.
Propriété:
Si deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles
égaux sont proportionnelles.
On a
\(\frac {A'B'}{AB}= \frac {A'C'}{AC}= \frac{ B'C'}{BC} = k\) et
\(\frac {AB }{A 'B '} = \frac {AC}{A 'C '} = \frac{BC}{B 'C '} = k ' = \frac{1}{k}\)
Si \(k < 1\) alors \(A'B'C'\) est une réduction de \(ABC\) de rapport \(k\).
Si \(k > 1\) alors \(A'B'C'\) est un agrandissement de \(ABC\) de rapport \(k\).
Autrement dit :
Longueurs du triangle ABC | AB | AC | BC |
Longueurs du triangle A'B'C' | A'B' | A'C' | B'C' |
est un tableau de proportionnalité dont le
coefficient de proportionnalité est \(k\).
Propriété:
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles alors ces triangles sont semblables.
Remarque:
Le coefficient \(k\) permet de calculer les longueurs du « grand » triangle à partir des longueurs du « petit » triangle.
Le coefficient \(k'\) permet de faire l'inverse et on a toujours \(kk' = 1\)
Méthode :
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit donc de montrer qu'ils ont :
3 côtés deux à deux proportionnelles
OU
2 paires d'angles de même mesure
OU
un angle compris entre deux côtés respectivement proportionnels.