I — Modéliser une expérience aléatoire⚓
Définition : Définition et propriétés
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prédire avec certitude lequel se produira.
On appelle issue d'une expérience aléatoire chacun des résultats possibles
On appelle univers d'une expérience aléatoire, l'ensemble des issues possibles
Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être réalisée lors d'une expérience.
Un événement est dit élémentaire lorsqu'il n'est réalisé que par une seule issue.
Un événement est dit impossible, s'il ne peut pas se produire : sa probabilité est égale à 0.
Un événement est dit certain, s'il se produit nécessairement : sa probabilité est égale à 1
Remarque :
Une expérience aléatoire est uniquement due au hasard.
Le résultat d'une expérience aléatoire ne dépend pas du résultat des expériences précédentes.
Propriété :
Quand les issues d'une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité, on parle d'équiprobabilité et on a : \(\mathbb{p("événement ") = \frac{nombre ~de~ cas ~favorables}{nombre ~de ~cas~ possibles}}\)
Exemple :
Lorsqu'on jette un dé équilibré à 6 faces, chaque face a la même probabilité égale à \( \frac{1}{6}\) de sortir.
II — Événements incompatibles et contraires⚓
a) Événements incompatibles
Définition :
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps.
Propriété
Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Autrement dit, si \( A\) et \(B\) sont deux événements incompatibles alors \(P(A ~{ou} ~B) = P(A)+ P(B)\)
Exemple :
On considère le jet d'un dé équilibré à 6 faces.
On appelle l’événement \(A\) : « obtenir le chiffre 1 » et l’événement \(B\) : « obtenir le chiffre 2 » .
Ce sont deux événements incompatibles.
Soit \(C\) l’événement « obtenir le chiffre 1 ou le chiffre 2 ».
On a donc \(P(C) = P(A) + P(B)\) soit \(P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\) donc \(P(C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
b) Événements contraires
Définition :
L’événement contraire d'un événement \(A\) est celui qui se réalise lorsque \(A\) ne se réalise pas.
On le note \(\bar{A}\) .
Propriété :
La somme des probabilités d'un événement \(A\) et de son contraire et \(1\) : \(P(A) + P(\bar{A}) = 1\)
Exemple :
\(P("ne~ pas~ obtenir ~4")=1−P("obtenir~ 4")\) donc \(P("ne ~pas ~obtenir~ 4") = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
III — Arbre de probabilité⚓
Définition :
L'arbre de probabilité d'une expérience indique chacun de ses issues.
On peut pondérer l'arbre de probabilité en indiquant sur chaque branche, la probabilité correspondante.
Propriété :
La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple :
L'expérience est constituée de deux épreuves successives.
On dispose de deux boîtes contenant des boules :
On tire d'abord une boule dans la boîte A et on note sa couleur.
Ensuite, on tire une boule dans la deuxième boîte B et on note la couleur
On trace ensuite l'arbre pondéré en probabilité de l'expérience (deux épreuves)
IV — carte mentale⚓
