Définition : Fonction affine
\(\color{blue}a\) et \(\color{red}b\) désignent des nombres fixés.
La fonction \( f\) qui à un nombre \(x\) associe le nombre \(\color{blue}a\color{black}x+\color{red}b\) est appelée fonction affine.
On note\( f:x⟼\color{blue}{a}\color{black}x+\color{red}b\) ou encore \(f(x)=\color{blue}a\color{black}x+\color{red}b\)
L'image de \(x\) par la fonction \(f\) est le nombre
Méthode : Image d'un nombre par une fonction affine
Pour calculer l'image du nombre \( x\), on multiplie \(x\) par \(\color{blue}a\) puis on ajoute \(\color{red}b\) .
Exemple :
La fonction \(f\) qui à un nombre \(x\) associe son triple auquel on ajoute \(5\) peut s'écrire \(f(x)=3x+5\).
f est une fonction affine de la forme \(f(x)=\color{blue}a\color{black}x+\color{red}b\) avec \(\color{blue}a\) =\(3\) et \(\color{red}b\) =\(5\)
La fonction \(g\) définie par \(g(x)=−5x−1\) est une fonction affine avec \(\color{blue}a\) =\(−5\) et \(\color{red}b\) =\(−1\)
La fonction \(h\) telle que \(h(x)=3x^2+4\) n'est pas une fonction affine, l'exposant du terme en \(x\) est \(2\).
Complément :
Lorsque b = 0, la fonction \(x⟼\color{blue}a\color{black}x\) est une fonction affine particulière : c'est une fonction linéaire.
\(f(x)=7x\) est une fonction linéaire
Lorsque \(\color{blue}a\) = 0, la fonction \(x⟼\color{red}b\) est une fonction affine particulière : c'est une fonction constante.
\(g(x)=9\) est une fonction constante
Coefficient directeur d'une fonction affine et accroissement⚓
Définition :
On considère une fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x+2\) dont on a établi un tableau de valeurs.
Quand \(x\) augmente de \(1\) unité, \(f(x)\) augmente de \(3\) unités. Ceci permet de retrouver le coefficient directeur de la fonction \(f\).
Quand \(x\) augmente de \(k\) unités, \(f(x)\) augmente de \(k×3\) unités.
On lit l'ordonnée à l'origine qui est \(+ 2.\)
Ces informations permettent de retrouver l'expression \(f(x)=3x+2\)
La manière dont se comporte une fonction affine dépend de son coefficient directeur
Représentation graphique de la fonction f définie par \(f(x) = 3x + 2\)
Complément :
La position de la droite représentant une fonction affine ou linéaire dépend du signe du coefficient directeur de la fonction.
