1- Les nombres premiers⚓
Définition : Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs (1 et lui-même).
Exemple :
13 est un nombre premier car il n'a que deux diviseurs 1 et lui-même (13)
4 n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs : 1 ; 2 et 4
Propriété:
Si nombre entier est premier alors il est seulement divisible par 1 et lui-même.
Démonstration :
\(a\) un nombre entier.
\(a = 1 × a\) donc \(a\) est divisible par \(1\) et \(a\) est divisible par \(a\).
\(1\) et \(a\) sont deux diviseurs de \(a\).
Si \(a\) est un nombre premier alors il possède exactement deux diviseurs : ce sont forcément \(1\) et \(a\).
Attention :
\(1\) n'est pas un nombre premier, car il ne possède qu'un seul diviseur : lui-même !
Exemple :
Voici la liste des 25 nombres premiers inférieurs à 100 :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97
2- Décomposition en facteurs premiers⚓
Théorème fondamental de l'arithmétique (Admis)
Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 peut être écrit sous la forme d'un produit de nombres premiers.
Ce produit est unique à l'ordre des facteurs près.
Exemple :
\(54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3^3\)
\(210 = 2 × 3 × 5 × 7\)
Méthode : Comment décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers
Pour décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, on divise ce nombre par les nombres premiers dans
l'ordre croissant et on recommence avec le quotient jusqu'à obtenir un quotient égal à 1.
On divise donc par 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Les critères de divisibilité sont très utiles dans cette situation.
Décomposons le nombre 3 780
\(3 780 = 2 × 1 890\)
\(1 890 = 2 × 945\)
\(945 = 3 × 315\)
\(315 = 3 × 105\)
\(105 = 3 × 35\)
\(35 = 5 × 7\)
Ainsi \(3 780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2^2 × 3^3 × 5 × 7\)
On peut aussi présenter les calculs ainsi :
